导数计算的基本方法(导数计算方法的总结)
导数可以说是研究函数行为最有用的数学工具。
在本文中，我们将介绍计算机计算导数的三种方法。
为了简单起见，我们将只讨论单变量函数。然而，相同的概念也适用于使用多元函数。
导数是什么？
函数的导数表示函数值随其参数的微小变化而变化的速率。
我们定义函数f(x)在点x0:的导数
直观上看，f(x)的导数为：任意切线到x0的斜率：
应用这个定义，我们可以找到简单函数导数的一般表达式，例如多项式、指数、三角函数等。
因此，我们引入了两种计算导数的方法：
通过某点x，根据定义
使用已知函数的导数表达式和链式规则
下面，我们从计算角度探讨每种方法
数值微分
如前所述，第一种方法是使用有限差分法计算某个点x的近似导数的值：
为了实现这个方法，我们选择一个小的h（接近于零）来计算分数
优势
当函数未知且只能采样时，此方法非常有用。
缺点
根据步骤h的选择，结果的准确性或多或少会受到影响。
当涉及高阶导数和多变量函数时，数值微分就会成为问题。
符号微分
计算导数的第二种方法是通过重复应用简单函数的链式法则和已知的导数公式来操纵数学表达式。
通过这样做，我们找到了导数(f’(x)=…)的通用表达式，我们可以将x代入其中以找到特定点的值。
例如，当x=1时，我们求以下函数的导数：
使用定义，我们可以证明：
然后，根据链式法则，我们有
接下来，代入x=1，得到
优势
由于计算是符号性的，因此减少了准确性问题。
缺点
正如预期的那样，如果我们正在研究的函数非常复杂，符号微分可能会变得非常乏味，特别是在处理多元函数和/或高阶导数时。
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