双星运动的周期怎么算(双星运动周期公式推导)

玩“烂”高考十四：单星、双星、三星运动统一循环公式

编者按：疑惑无解，但另一个村子却有光明的未来。另辟蹊径，巧妙秒解高考题，快速、正确、轻松。然而，在用“特殊”方法打“烂”高考题时，不仅要知其然，更要知其所以然。

今天我们主要讨论天体运动的周期公式，

单星：

中心天体质量为'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='M'role='presentation'MM，周围天体质量为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m'role='presentation'mm，绕天体运动半径为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='r'角色='演示'rr，

根据万有引力提供的向心力，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='GMmr2=m4#x3C0;2T2r'角色='演示'GMmr2=m42T2rG\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4^2}{T^2}r,

解决办法：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='T=4#x3C0;2r3GM'role='presentation'T=42r3GMT=\sqrt{\frac{4^2r^3}{GM}}（单星周期公式）

双星：

质量是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1'role='presentation'm1m_1和rame'tabindex=分别。'0'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m2'角色='presentation'm2m_2的双星在相互引力的影响下相互连接在一起。直线上某点O作稳定匀速圆周运动，

其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1'role='presentation'm1m_1的半径为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='r1'角色='演示'r1r_1，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m2'角色='presentation'm2m_2的半径为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='r2'role='presentation'r2r_2，双星间距为随机'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='r=r1+r2'role='presentation'r=r1+r2r=r_1+r_2，如下图，

分析完rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1'role='presentation'm1m_1，我们得到，

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Gm1m2r2=m14#x3C0;2T2r1'角色='演示'Gm1m2r2=m142T2r1G\frac{m_1m_2}{r^2}=m_1\frac{4^2}{T^2}r_1(1)

分析完rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m2'角色='presentation'm2m_2，我们得到，

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Gm1m2r2=m24#x3C0;2T2r2'角色='演示'Gm1m2r2=m242T2r2G\frac{m_1m_2}{r^2}=m_2\frac{4^2}{T^2}r_2(2)

注意，式(1)和式(2)中，周期rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='T'role='presentation'TT是一样的。

比较式（1）和式（2），左边相等，所以右边也相等，可得：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1r1=m2r2'role='presentation'm1r1=m2r2m_1r_1=m_2r_2（一个有用的结论）

由式(1)可得，

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Gm2r2=4#x3C0;2T2r1'角色='演示'Gm2r2=42T2r1\frac{Gm_2}{r^2}=\frac{4^2}{T^2}r_1(3)

由式（2）可得，

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Gm1r2=4#x3C0;2T2r2'角色='演示'Gm1r2=42T2r2\frac{Gm_1}{r^2}=\frac{4^2}{T^2}r_2(4)

将(3)(4)左右两边分别相加可得，

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Gm2r2+Gm1r2=4#x3C0;2T2r1+4#x3C0;2T2r2=4#x3C0;2T2(r1+r2)=4#x3C0;2T2r'角色='演示'Gm2r2+Gm1r2=42T2r1+42T2r2=42T2(r1+r2)=42T2r\frac{Gm_2}{r^2}+\frac{Gm_1}{r^2}=\frac{4^2}{T^2}r_1+\frac{4^2{T^2}r_2=\frac{4^2}{T^2}(r_1+r_2)=\frac{4^2}{T^2}r

所以，得到，

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='T=4#x3C0;2r3G(m1+m2)'角色='演示'T=42r3G(m1+m2)T=\sqrt{\frac{4^2r^3}{G(m_1+m_2)}}（双星周期公式）。

比较单星周期公式ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='T=4#x3C0;2r3GM'role='presentation'T=42r3GMT=\sqrt{\frac{4^2r^3}{GM}}和双星周期公式rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='T=4#x3C0;2r3G(m1+m2)'角色='演示'T=42r3G(m1+m2)T=\sqrt{\frac{4^2r^3}{G(m_1+m_2)}},

小伙伴们可以自己体会一下其中的相似之处，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='r'role='presentation'rr仍然是恒星之间的距离，质量替换为双星的总质量。

我们进一步解释二进制周期公式，

当m_2'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1gt;gt;m2'角色='演示'm1m2m_1m_2,

根据rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1r1=m2r2'角色='演示'm1r1=m2r2m_1r_1=m_2r_2，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='r1#x2248;0'角色='演示'r10r_10,

即rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='r=r1+r2#x2248;r2'角色='演示'r=r1+r2r2r=r_1+r_2\approxr_2,

同时可以想到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1+m2#x2248;m1'角色='演示'm1+m2m1m_1+m_2m_1,

所以，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='T=4#x3C0;2r3G(m1+m2)#x2248;4#x3C0;2r23Gm1'角色='演示'T=42r3G(m1+m2)42r23Gm1T=\sqrt{\frac{4^2r^3}{G(m_1+m_2)}}\approx\sqrt{\frac{4^2r_2^3}{Gm_1}},

相当于处理rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1'role='演示'm1m_1为中心天体，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m2'角色='演示'm2m_2围绕rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1'role='presentation'm1m_1旋转单星运动模型。如下，

三星：

简单来说，我们似乎只能处理三个质量相等的天体在相互引力影响下的运动。三颗恒星的位置关系将保持等边三角形的形状，并作匀速圆周运动。

但事实上，我们可以证明，当三颗恒星的质量相同时'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m1'角色='演示文稿'm1m_1，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m2'角色='演示'm2m_2,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m3'role='presentation'm3m_3并且质量不等，三星的位置关系仍然保持等边三角形分布，并分别进行匀速圆周运动，如下，

这里的证明有点过分，但也不过分。

所谓超级大纲有时候只是因为没有考高考，并不代表知识点特别难理解。考试总是有一个范围的。

但如果在高考题中，以等边三角形中三颗星的分布作为已知条件告诉你，所谓的“信息题”并不一定属于超类，但也没有必要证明为什么分布仍呈等边三角形。

其实证明也很简单。我在《原野：高中数学物理方法4：向量，用向量的极简结论证明经典三体稳定性问题》一文中详细介绍过。文章还给出了三星运动的角速度，只需稍解周期公式即可得到。

好吧，不管怎样，根据上面的双星模型，我们可以猜测三颗恒星的周期是，

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='T=4#x3C0;2a3G(m1+m2+m3)'角色='演示'T=42a3G(m1+m2+m3)T=\sqrt{\frac{4^2a^3}{G(m_1+m_2+m_3)}}，其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'role='presentation'aa是任意两颗星星之间的距离。

那么，我们来看看一些经典问题。

例1（2015年安徽高考题）：一个由三颗恒星组成的系统，忽略其他恒星对它们的影响，有一种运动形式：三颗恒星在相互引力的作用下位于一个等边三角形中。在的三个顶点上，它们绕三角形所在平面内的公共中心O以相同角速度做圆周运动（图为A、B、C三颗恒星质量不同时的一般情况）。如果A星的质量相同'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='2m'role='presentation'2m2m，两颗恒星B和C的质量都相同'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m'role='presentation'mm，三角形边长为'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'role='presentation'aa，引力常数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='G'role='presentation'GG已知，查找：

(1)星Arame的合力大小'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='FA'角色='演示'FAF_A;

(2)B星框架上的合力大小'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='FB'角色='演示'FBF_B;

(3)C星轨道半径'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='RC'角色='演示'RCR_C;

(4)三颗星rame圆周运动的周期'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='T'角色='演示'TT。

看，这个问题告诉我们“三颗星位于等边三角形的三个顶点”，所以它不被认为是超类。

当然，这个问题本身并不难。我们可以自己尝试一下。无论如何，答案很容易搜索到。

尤其是最后一个问题，分分钟就有答案。

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='T=4#x3C0;2a3G(2m+m+m)=#x3C0;2a3Gm'角色='演示'T=42a3G(2m+m+m)=2a3GmT=\sqrt{\frac{4^2a^3}{G(2m+m+m)}}=\sqrt{\frac{^2a^3}{Gm}}。

关于自转中心，也就是三颗恒星的质心，我在《原野：引力三要素的知识》一文中提到过

多少？”中有过介绍。

总之，如果你愿意看文章“袁野：高中数学物理方法4：向量，运用向量的极简结论证明经典的三体稳态问题”，那这道题根本就是小儿科了。

例2（多选）：2016年2月11日，LIGO科学合作组织首次探测到了来自宇宙中双黑洞合并所产生的引力波，证实了爱因斯坦100年前所做的预测。脉冲双星间的距离在减小已间接证明了引力波的存在。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如下图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动．由于双星间的距离减小，则（）

A．两星的运动周期均逐渐减小

B．两星的运动角速度均逐渐变大

C．两星的向心加速度均逐渐减小

D．两星的运动速度均逐渐减小

这道题，我们有必要仔细分析一下，

首先我们根据双星周期公式rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="T=4π2r3G(m1+m2)"role="presentation">T=4π2r3G(m1+m2)T=\sqrt{\frac{4π^2r^3}{G(m_1+m_2)}}，

因为双星间的距离rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="r"role="presentation">rr减小，所以周期减小，A选项正确。

周期减小，角速度rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="ω=2πT"role="presentation">ω=2πT\omega=\frac{2π}{T}增大，B选项正确。

对于C选项，以其中一星rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m1"role="presentation">m1m_1为例，

根据万有引力提供向心力rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Gm1m2r2=m1a1"role="presentation">Gm1m2r2=m1a1G\frac{m_1m_2}{r^2}=m_1a_1，

得到，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a1=Gm2r2"role="presentation">a1=Gm2r2a_1=G\frac{m_2}{r^2}，所以rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a1"role="presentation">a1a_1增大，同理rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a2=Gm1r2"role="presentation">a2=Gm1r2a_2=G\frac{m_1}{r^2}也增大，C选项错误。

对于D选项，感觉有点难度，我们还是先以rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m1"role="presentation">m1m_1为例，

根据万有引力提供向心力rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Gm1m2r2=m1v12r1"role="presentation">Gm1m2r2=m1v12r1G\frac{m_1m_2}{r^2}=m_1\frac{v_1^2}{r_1}，

得到，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="v1=Gm2r1r2"role="presentation">v1=Gm2r1r2v_1=\sqrt{Gm_2\frac{r_1}{r^2}}，因为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="r1"role="presentation">r1r_1和rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="r=r1+r2"role="presentation">r=r1+r2r=r_1+r_2都减小，如果要定量判断不是特别直观，

所以我们要做些化解，根据rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m1r1=m2r2"role="presentation">m1r1=m2r2m_1r_1=m_2r_2，得到，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="r1r2=m2m1"role="presentation">r1r2=m2m1\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}，

根据比例性质，得到，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="r1r2+r1=m2m1+m2"role="presentation">r1r2+r1=m2m1+m2\frac{r_1}{r_2+r_1}=\frac{m_2}{m_1+m_2}，即rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="r1r=m2m1+m2"role="presentation">r1r=m2m1+m2\frac{r_1}{r}=\frac{m_2}{m_1+m_2}，

所以，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="v1=Gm22m1+m21r"role="presentation">v1=Gm22m1+m21rv_1=\sqrt{G\frac{m_2^2}{m_1+m_2}\frac{1}{r}}，所以速度增大，

同理rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="v2=Gm12m1+m21r"role="presentation">v2=Gm12m1+m21rv_2=\sqrt{G\frac{m_1^2}{m_1+m_2}\frac{1}{r}}增大。D选项错误。

故选AB。

但是，在高考中，该题也有秒解方法，

运用极限法，让>m_2">rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m1>>m2"role="presentation">m1>>m2m_1>>m_2，这样双星就变成了单星了，

根据“越高越慢”，该方法见文章“袁野：玩“坏”高考6：越高越慢”，

根据双星间的距离减小，就是变低了，

所以运动变快了，就是环绕线速度变大，角速度变大，加速度变大，周期减小，故选AB。

哎，终于写完了，不知道小伙伴们有没有认真看完呢，好累呀！

小伙伴们，咱们下期再见啦！

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