向量与矩阵的乘积(向量和矩阵的乘法怎么算)

本文总结了向量和矩阵的各种乘积。原因是各种产品的名称太多，非常容易混淆……因为只是简单的概括，并没有涉及到对每个概念的深入理解。有不足之处请指出。

一、向量的各种乘积总结

1.点积[1]，向量点积，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a#x22C5;b=c'role='presentation'ab=c\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{c}，符号为rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x22C5;'role='presentation'\cdot，要求向量长度相同，结果为标量。又称：点积、数量积、标量积、标量积、投影积等。

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a=[a1,a2#x22EF;an],b=[b1,b2#x22EF;bn],c=#x2211;i=1na1b1+a2b2+#x22EF;+anbn'角色='演示'a=[a1,a2an],b=[b1,b2bn],c=i=1na1b1+a2b2++anbn\mathbf{a}=[a_{1},a_{2}\cdotsa_{n}],\mathbf{b}=[b_{1},b_{2}\cdotsb_{n}],\mathbf{c}=\sum_{i=1}^n{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}}\\

值得注意的是，WIKI写道：

如果向量用行矩阵来表示，点积也可以写成矩阵积。矩阵乘积是以下矩阵的Standard矩阵乘法，因此计算过程变为：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='a#x22C5;b=ab#x22A4;'角色='演示'ab=ab\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\mathbf{b^\top}\\

例如rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'角色='演示'a\mathbf{a}ifaram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='1#x00D7;3'角色='演示'131\times3矩阵，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='b'role='presentation'b\mathbf{b}是一个ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3#x00D7;1'role='presentation'313\times1矩阵，点积结果为：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='[13#x2212;5][4#x2212;2#x2212;1]=3'角色='演示'[135][421]=3\begin{bmatrix}13-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}=3\\

此外，许多消息来源认为内积是点积。事实上，这两个概念略有不同。维基百科写道：

在欧几里得几何中，广泛使用两个向量的笛卡尔坐标的点积。它通常被称为欧几里德空间的内积（或很少称为投影积），尽管它不是可以在欧几里德空间上定义的唯一内积（有关更多信息，请参阅内积空间）。也就是说，向量点积在欧几里得空间中被大量使用，也被广泛称为内积。然而，点积法并不是唯一定义的内积法。点积它只是内积最常用的定义之一。所以在很多地方，点积和内积是相等的。有关内积的更多说明，请参阅内积空间。

2.外积[2]，向量外积，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a#x2297;b=c'role='presentation'ab=c\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}=\mathbf{c}，符号为'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x2297;'role='presentation'\otimes，如果矢量rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'角色='演示文稿'a\mathbf{a}是随机的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m'role='presentation'mm，矢量rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='b'角色='演示文稿'b\mathbf{b}是随机的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='n'role='presentation'nn，外积结果为维度为rame的矩阵'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m#x00D7;n'role='presentation'mnm\timesn，该过程相当于矩阵的标准矩阵乘法。

rame'tabindex='0'data-mathml='c=a#x2297;b=ab#x22A4;=[a1a2#x22EE;am][b1b2#x22EF;bn]=[a1b1a1b2#x2026;a1bna2b1a2b2#x2026;a2bn#x22EE;#x22EE;#x22F1;#x22EE;amb1amb2#x2026;ambn]'角色='演示'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'c=ab=ab=[a1a2am][b1b2bn]=[a1b1a1b2…a1bna2b1a2b2…a2bnamb1amb2…ambn]c=\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}=\mathbf{a}\mathbf{b^\top}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1b_2\cdotsb_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1b_1a_1b_2\dotsa_1b_n\\a_2b_1a_2b_2\dotsa_2b_n\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\a_mb_1a_mb_2\dotsa_mb_n\end{bmatrix}\\

同样，许多消息来源认为下面的叉积是外积，这也是不正确的。也许是因为向量外积很少使用，所以这两个概念很容易混淆。

为了联系到下面矩阵的克罗内克积（Kronecker积，外积的推广），我们还可以这样看向量外积：

rame'tabindex='0'data-mathml='c=a#x2297;b=ab#x22A4;=[a1b#x22A4;a2b#x22A4;#x22EE;amb#x22A4;]=[a1b1a1b2#x2026;a1bna2b1a2b2#x2026;a2bn#x22EE;#x22EE;#x22F1;#x22EE;amb1amb2#x2026;ambn]'角色='演示文稿'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'c=ab=ab=[a1ba2bamb]=[a1b1a1b2…a1bna2b1a2b2…a2bnamb1amb2…ambn]c=\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}=\mathbf{a}\mathbf{b^\top}=\begin{bmatrix}a_1\mathbf{b^\top}\\a_2\mathbf{b^\top}\\\vdots\\a_m\mathbf{b^\top}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1b_1a_1b_2\dotsa_1b_n\\a_2b_1a_2b_2\dotsa_2b_n\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\a_mb_1a_mb_2\dotsa_mb_n\end{bmatrix}\\\\

最终的矩阵是分块矩阵。

3.叉积[3]，向量叉积，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a#x00D7;b=c'role='presentation'ab=c\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}，符号为'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x00D7;'role='presentation'\times，叉积运算仅定义在三维空间中，结果仍然是一个向量，其方向遵循右手确定但是。又称为：叉积、向量积、向量积等。

rame'tabindex='0'data-mathml='a=a1i+a2j+a3kb=b1i+b2j+b3k'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'a=a1i+a2j+a3kb=b1i+b2j+b3k\begin{alignat}{3}\mathbf{a}=a_1\mathbf{\color{blue}{i}}+a_2\mathbf{\颜色{红}{j}}+a_3\mathbf{\color{绿}{k}}\\\mathbf{b}=b_1\mathbf{\color{蓝色}{i}}+b_2\mathbf{\color{红色}{j}}+b_3\mathbf{\color{绿色}{k}}\end{alignat}\\

使用行列式来理解：

rame'tabindex='0'data-mathml='a#x00D7;b=|ijka1a2a3b1b2b3|=(a2b3i+a3b1j+a1b2k)#x2212;(a3b2i+a1b3j+a2b1k)=(a2b3#x2212;a3b2)i+(a3b1#x2212;a1b3)j+(a1b2#x2212;a2b1)k'角色='演示'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'ab=|ijka1a2a3b1b2b3|=(a2b3i+a3b1j+a1b2k)(a3b2i+a1b3j+a2b1k)=(a2b3a3b2)i+(a3b1a1b3)j+(a1b2a2b1)k\begin{align}\mathbf{a\timesb}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\\a_1a_2a_3\\b_1b_2b_3\\\end{vmatrix}\\=(a_2b_3\mathbf{i}+a_3b_1\mathbf{j}+a_1b_2\mathbf{k})-(a_3b_2\mathbf{i}+a_1b_3\mathbf{j}+a_2b_1\mathbf{k})\\=(a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{k}\end{align}\\

几何意义：

rame'tabindex='0'data-mathml='a#x00D7;b=#x2016;a#x2016;#x2016;b#x2016;sin#x2061;(#x03B8;)'角色='演示'style='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'ab=‖a‖‖b‖sin()\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\右\|\左\|\mathbf{b}\右\|\sin(\theta)\\

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Cross_product.gif#/media/File:Cross_product.gif

二、矩阵的各种乘积总结

1.标准矩阵乘法[4]，矩阵乘积，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Am#x00D7;n#x22C5;Bn#x00D7;p=Cm#x00D7;p'角色='演示'AmnBnp=CmpA_{m\timesn}\cdotB_{n\timesp}=C_{m\timesp}，符号为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x22C5;'role='presentation'\cdot，需要rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A'role='presentation'AA列数应与rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='B'role='presentation'BB具有相同的行数，是最通用的矩阵间乘法。

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C=(a11a12#x22EF;a1na21a22#x22EF;a2n#x22EE;#x22EE)#x22EF;+a1nbn2#x22EF;a11b1p+#x22EF;+a1nbnpa21b11+#x22EF;+a2nbn1a21b12+#x22EF;+a2nbn2#x22EF；a21b1p+#x22EF;+a2nbnp#x22EE;#x22EE;#x22F1;#x22EE;am1b11+#x22EF;+amnbn1am1b12+#x22EF;+amnbn2#x22EF;am1b1p+#x22EF;+amnbnp)'角色='演示'C=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)(b11b12b1pb21b22b2pbn1bn2bnp)=(a11b11++a1nbn1a11b12++a1nbn2a11b1p++a1nbnpa21b11++a2nbn1a21b12++a2nbn2a21b1p++a2nbnpam1b11++amnbn1am1b12++amnbn2am1b1p++amnbnp)\mathbf{C}=\begin{pmatrix}a_{11}a_{12}\cdotsa_{1n}\\a_{21}a_{22}\cdotsa_{2n}\\\vdots\vdo

ts&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2p}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{np}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+\cdots+a_{1n}b_{n2}&\cdots&a_{11}b_{1p}+\cdots+a_{1n}b_{np}\\a_{21}b_{11}+\cdots+a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+\cdots+a_{2n}b_{n2}&\cdots&a_{21}b_{1p}+\cdots+a_{2n}b_{np}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+\cdots+a_{mn}b_{n2}&\cdots&a_{m1}b_{1p}+\cdots+a_{mn}b_{np}\\\end{pmatrix}\\

rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="cij=ai1b1j+ai2b2j+?+ainbnj=∑k=1naikbkj"role="presentation">cij=ai1b1j+ai2b2j+?+ainbnj=∑k=1naikbkjc_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\\

2.Hadamardproduct[5]，哈达玛积，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Am×n°Bm×n=Cm×n"role="presentation">Am×n°Bm×n=Cm×nA_{m\timesn}\circB_{m\timesn}=C_{m\timesn}或rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Am×n⊙Bm×n=Cm×n"role="presentation">Am×n⊙Bm×n=Cm×nA_{m\timesn}\odotB_{m\timesn}=C_{m\timesn}，符号为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="°"role="presentation">°\circ或rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="⊙"role="presentation">⊙\odot，矩阵对应元素相乘，要求矩阵维度相同。又称：逐元素积、element-wiseproduct、entrywiseproduct、Schurproduct等。

rame"tabindex="0"data-mathml="Am×n°Bm×n=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]°[b11b12b13b21b22b23b31b32b33]=[a11b11a12b12a13b13a21b21a22b22a23b23a31b31a32b32a33b33]"role="presentation"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;">Am×n°Bm×n=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]°[b11b12b13b21b22b23b31b32b33]=[a11b11a12b12a13b13a21b21a22b22a23b23a31b31a32b32a33b33]\mathbf{A_{m\timesn}}\circ\mathbf{B_{m\timesn}}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\circ\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}\,b_{11}&a_{12}\,b_{12}&a_{13}\,b_{13}\\a_{21}\,b_{21}&a_{22}\,b_{22}&a_{23}\,b_{23}\\a_{31}\,b_{31}&a_{32}\,b_{32}&a_{33}\,b_{33}\end{bmatrix}\\3.Kroneckerproduct[6]，克罗内克积，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Am×n?Bp×q=Cpm×qn"role="presentation">Am×n?Bp×q=Cpm×qnA_{m\timesn}\otimesB_{p\timesq}=C_{pm\timesqn}，符号为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="?"role="presentation">?\otimes，是上面的向量外积(outproduct)的推广，形成的是分块矩阵(blockmatrix)，对矩阵维度没有要求。又称：matrixdirectproduct等。

rame"tabindex="0"data-mathml="Am×n?Bp×q=[a11B?a1nB???am1B?amnB]=[a11b11a11b12?a11b1q??a1nb11a1nb12?a1nb1qa11b21a11b22?a11b2q??a1nb21a1nb22?a1nb2q????????a11bp1a11bp2?a11bpq??a1nbp1a1nbp2?a1nbpq??????????????am1b11am1b12?am1b1q??amnb11amnb12?amnb1qam1b21am1b22?am1b2q??amnb21amnb22?amnb2q????????am1bp1am1bp2?am1bpq??amnbp1amnbp2?amnbpq]"role="presentation"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;">Am×n?Bp×q=[a11B?a1nB???am1B?amnB]=[a11b11a11b12?a11b1q??a1nb11a1nb12?a1nb1qa11b21a11b22?a11b2q??a1nb21a1nb22?a1nb2q????????a11bp1a11bp2?a11bpq??a1nbp1a1nbp2?a1nbpq??????????????am1b11am1b12?am1b1q??amnb11amnb12?amnb1qam1b21am1b22?am1b2q??amnb21amnb22?amnb2q????????am1bp1am1bp2?am1bpq??amnbp1amnbp2?amnbpq]\mathbf{A_{m\timesn}}\otimes\mathbf{B_{p\timesq}}=\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf{B}&\cdots&a_{1n}\mathbf{B}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}\mathbf{B}&\cdots&a_{mn}\mathbf{B}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots&a_{11}b_{1q}&\cdots&\cdots&a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots&a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots&a_{11}b_{2q}&\cdots&\cdots&a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots&a_{1n}b_{2q}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots&a_{11}b_{pq}&\cdots&\cdots&a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots&a_{1n}b_{pq}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\ddots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\\vdots&\vdots&&\vdots&&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots&a_{m1}b_{1q}&\cdots&\cdots&a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots&a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots&a_{m1}b_{2q}&\cdots&\cdots&a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots&a_{mn}b_{2q}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots&a_{m1}b_{pq}&\cdots&\cdots&a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots&a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}\\

参考

^[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product^[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product^[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product^[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication^[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_product_(matrices)^[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product